Maxwellgleichungen

Die Theorie des Magnetismus entbehrte lange Zeit einer exakten mathematischen Beschreibung. Eine vollständige Erklärung der Erscheinungen im physikalischen Sinn erfolgte erst 1864 durch James Clerk Maxwell. Die von ihm gefundenen vier Maxwellgleichungen bilden bis heute die Grundlage der Elektrodynamik. Im Wesentlichen wird durch die Maxwellgleichungen beschrieben, wie groß die elektrischen und magnetischen Felder und damit auch die entsprechenden Kräfte sind, wenn bestimmte Ladungs- oder Stromverteilungen vorliegen. Dabei erkannte Maxwell, dass elektrische und magnetische Phänomene nicht unabhängig voneinander sind. So gehen von einem bewegten elektrischen Feld auch magnetische Felder aus. Mehr zur Geschichte der Magnete finden Sie in unserem Ratgeber.

In einer elektromagnetischen Welle beeinflussen sich zeitlich veränderliche elektrische und magnetische Felder wechselseitig. Die Erweiterung der Vakuum Maxwellgleichungen zu den Maxwellgleichungen in Materie berücksichtigt weiter noch Phänomene der elektrischen Polarisation und der Magnetisierung und kann somit auch die Ausbreitung elektrischer und magnetischer Felder in Materie beschreiben.

Notation

In den Maxwellgleichungen wird ein mathematischer Differentialoperator verwendet, der auch als "Ableitungsvektor" bezeichnet wird. Er hat als Symbol ein Dreieck, welches auf einer Spitze steht:

\( \vec{\nabla}=\left(\begin{array}{c} \partial/\partial{x} & & \partial/\partial{y} & & \partial/\partial{z} \end{array}\right) \),

wobei \(\partial/\partial{x}\) die partielle Differentiation nach der Variablen x bezeichnet.

Dadurch wird der Anteil der "von einem Punkt ausgehenden Feldlinien", z. B. des elektrischen Feldes \(\vec{E}\) mit Hilfe der sogenannten Divergenz eines Feldes (\(\nabla\cdot\vec{E}\)) beschrieben. Andererseits sind geschlossene Schleifen aus Feldlinien möglich, sogenannte Wirbel. Diese werden mit Hilfe der Rotation (\(\nabla\times\vec{E}\)) charakterisiert.

Die vier zeitunabhängigen Maxwellgleichungen und ihre Aussagen

Die zeitunabhängigen Maxwellgleichungen beschreiben den Verlauf der elektrischen Felder (\(\vec{E}\)) und der magnetischen Flussdichte (\(\vec{B}\)) bei gegebenen statischen Ladungen ρ und Strömen \(\vec{j}\) im Vakuum bzw. näherungsweise im Luftraum:

\(1) \nabla\cdot\vec{E} = \frac\rho\epsilon_0\)
\(2) \nabla{\times{\vec{E}}} = 0\)
\(3) \nabla\cdot\vec{B} = 0\)
\(4) \nabla{\times{\vec{B}}} =\mu_0\cdot\vec{j}\)
ε₀ bezeichnet die Dielektrizitätskonstante des Vakuums und μ₀ die magnetische Permeabilität des Vakuums.

Konkret kann man sich die Aussagen dieser Gleichungen wie folgt denken:

1) Von Ladungen gehen Feldlinien aus. Ladungen sind somit die Quellen (positive Ladungen) bzw. Senken (neg. Ladungen) des elektrischen Feldes. Diese Feldquellen werden durch die Divergenz charakterisiert. Die Stärke des elektrischen Feldes, welches von einer Ladung verursacht wird, ist der Ladung proportional.

2) Das elektrische Feld hat jedoch im Ruhezustand keine Wirbel. Die Wirbel werden über die oben bezeichnete Rotation berechnet.

3) Die magnetische Flussdichte dagegen hat keine Quellen. Es gibt keine "magnetischen Monopole", also kein physikalisches Objekt, von dem einfach nur magnetische Feldlinien ausgehen würden.

4) Stattdessen verursachen Ströme Wirbel der magnetischen Flussdichte und damit auch das Magnetfeld. Dabei ist die Stärke des Magnetfeldes dem eingeschlossenen Strom proportional.

Die vier zeitabhängigen Maxwellgleichungen

Die zeitabhängigen Maxwellgleichungen berücksichtigen neben den genannten Phänomenen noch zeitlich veränderliche elektrische und magnetische Felder. Die zeitliche Änderung eines Feldes wird durch einen Punkt charakterisiert. Dieser symbolisiert die Ableitung nach der Zeit. Beim elektrischen Feld bezeichnet also \(\dot{\vec{E}}=\frac{d}{dt}\vec{E}\) die zeitliche Änderung des elektrischen Feldes. Damit lauten die zeitabhängigen Maxwellgleichungen im Vakuum:

\(1) \nabla\cdot\vec{E} = \frac\rho\epsilon_0\)
\(2) \nabla{\times{\vec{E}}}+\dot{\vec{B}} = 0\)
\(3) \nabla\cdot\vec{B} = 0\)
\(4) \nabla{\times{\vec{B}}} =\mu_0\cdot\vec{j}+\frac1{c^2}\dot{\vec{E}}\)
Nach Gleichung 2) verursacht also eine zeitlich veränderliche magnetische Flussdichte zusätzliche Wirbel im elektrischen Feld. Ein zeitlich veränderliches elektrisches Feld (Gleichung 4) bedingt wiederum zusätzliche Wirbel im magnetischen Feld. Mit Hilfe der Gleichungen 2) und 4) kann beispielsweise das Verhalten elektromagnetischer Wellen bestimmt werden. Die Größe c ist die Lichtgeschwindigkeit, die mit den Konstanten ε₀ und μ₀ folgendermaßen verknüpft ist:

\(\epsilon_0\mu_0=\frac{1}{c^2}\).

Die Einführung materialspezifischer Parameter ist zu einer Beschreibung der Ausbreitung elektrischer und magnetischer Felder in Materie notwendig. In Materie kommt es durch elektrische Felder zur elektrischen Polarisation und durch magnetische Felder zur Magnetisierung. Die zeitabhängigen Maxwellgleichungen in Materie berücksichtigen dies folgendermaßen:

\(1) \nabla\cdot\vec{E} = \frac\rho\epsilon_0-\nabla\cdot\frac{\vec{P}}{\epsilon_0}\)
\(2) \nabla{\times{\vec{E}}}+\dot{\vec{B}} = 0\)
\(3) \nabla\cdot\vec{B} = 0\)
\(4) \nabla{\times{\vec{B}}} =\frac{1}{c^2}\dot{\vec{E}}+\mu_0\dot{\vec{P}}+\mu_0\nabla\times\vec{M}+\mu_0\cdot\vec{j}\)
Quellen des elektrischen Feldes sind nach Gleichung 1) also nicht nur echte Ladungen ρ, sondern auch die Polarisation \(\vec{P}\) . Die Polarisation ist dabei von der materialspezifischen Dielektrizität (Polarisierbarkeit) abhängig.

Die Wirbel der magnetischen Flussdichte werden nach Gleichung 4) durch Ströme \(\vec{j}\), zeitlich veränderliche elektrische Felder (inklusive Polarisationen) und durch Magnetisierungen \(\vec{M}\) verursacht. Da die Magnetisierung von der materialspezifischen magnetischen Permeabilitätskonstanten μ abhängt, steckt über \(\vec{M}\) Information in der 4. Maxwellgleichung, die aussagt, wie sich das Material in äußeren Feldern magnetisieren lässt und die magnetische Flussdichte beeinflusst.